Question

（2010•济南一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长为4．
（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切，求椭圆焦点坐标；
（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为k_PM，k_PN，当kPM•kPN=-

1

4

时，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由b=

2

1+1

得b=

2

，再结合椭圆的长轴的长为4，进而根据椭圆中a，b，c的关系得到焦点的坐标．
（2）由题意可设M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），P（x，y），所以有

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1，两式相减得：

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

b2

a2

，再结合两条直线的斜率与题中条件可得答案．

解答：解：（1）由b=

2

1+1

得b=

2

…（2分）
又因为2a=4，
所以a=2，又a²=4，b²=2…（4分）
所以c²=a²-b²=2，
∴两个焦点坐标为(

2

，0)，(-

2

，0)…（6分）
（2）由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N交于坐标原点对称
不妨设：M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），P（x，y）
因为M，N，P在椭圆上，
所以它们满足椭圆方程，即有

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1
两式相减得：

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

b2

a2

．…（8分）
由题意它们的斜率存在，则kPM=

y-y0

x-x0

，kPN=

y+y0

x+x0

…（10分）

kPM•kPN= y-y0 x-x0 • y+y0 x+x0 = y2- y 2 0 x2- x 2 0 =- b2 a2 则- b2 a2 =- 1 4 ，由a=2得b=1

故所求椭圆的方程为

x2

4

+y2=1…（12分）

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，涉及了椭圆与直线的位置关系，以及直线的斜率等问题，综合性强．