Question

10．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的交点在x轴上的射影恰为该椭圆的焦点，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 设渐近线y=$\frac{b}{a}$x与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1交于A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁）两点，由题意求得A点坐标，代入渐近线方程，求得$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{2}$，根据双曲线的离心率公式率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的焦点坐标为（±1，0），
设渐近线y=$\frac{b}{a}$x与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1交于A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁）两点，
则x₁=1，解得：y₁=$\frac{3}{2}$，则A（1，$\frac{3}{2}$），
代入渐近线方程整理得：$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{2}$，
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，考查双曲线的离心率公式及渐近线方程，考查计算能力，属于中档题．