Question

2．已知函数f（x）=m-|2-x|，且f（x+2）＞0的解集为（-1，1）．
（1）求m的值；
（2）若正实数a，b，c，满足a+2b+3c=m．求$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（x+2）＞0得|x|＜m，求出解集，利用f（x+2）＞0的解集为（-1，1），求m的值；
（2）由（1）知a+2b+3c=1，利用柯西不等式即可求$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}$的最小值．

解答 解：（1）因为f（x+2）=m-|x|
所以由f（x+2）＞0得|x|＜m
由|x|＜m有解，得m＞0，且其解集为（-m，m）
又不等式f（x+2）＞0解集为（-1，1），故m=1
（2）由（1）知a+2b+3c=1，又a，b，c是正实数，
由柯西不等式得$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=（\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}）（a+2b+3c）$$≥{（\frac{1}{{\sqrt{a}}}•\sqrt{a}+\frac{1}{{\sqrt{2b}}}•\sqrt{2b}+\frac{1}{{\sqrt{3c}}}•\sqrt{3c}）^2}=9$
当且仅当$a=\frac{1}{3}，b=\frac{1}{6}，c=\frac{1}{9}$时取等号
故$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}$的最小值为9．

点评 本题考查不等式的解法，考查柯西不等式的运用，属于中档题．