题目内容
已知函数
（Ⅰ）求f（x）的单调区间以及极值；
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象是否为中心对称图形？如果是，请给出严格证明；如果不是，请说明理由．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间以及极值；
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象是否为中心对称图形？如果是，请给出严格证明；如果不是，请说明理由．
解：（Ⅰ）
∵x∈（﹣∞，4）∪（6，+∞）
由f '（x）＞0得f（x）在区间（﹣∞，0]和[10，+∞）上递增
由f '（x）＜0得f（x）在区间[0，4）和（6，10]上递减
于是有
；
（Ⅱ）因为f（x）图象上取得极值的两点的中点为
．下证，
函数f（x）图象关于此点对称．
设f（x）的定义域为D，(10-x)∈D，有：
所以，函数y=f（x）的图象关于点
对称．
∵x∈（﹣∞，4）∪（6，+∞）
由f '（x）＞0得f（x）在区间（﹣∞，0]和[10，+∞）上递增
由f '（x）＜0得f（x）在区间[0，4）和（6，10]上递减
于是有
；（Ⅱ）因为f（x）图象上取得极值的两点的中点为
．下证，函数f（x）图象关于此点对称．
设f（x）的定义域为D，(10-x)∈D，有：
所以，函数y=f（x）的图象关于点对称．
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