Question

20．已知函数f（x）=cosxsinx，给出下列四个结论：
①若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂；
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x=$\frac{3π}{4}$对称．
其中正确的结论是③④．

Answer 1

分析 根据二倍角公式将函数f（x）进行化简，根据正弦函数的性质和已知判断①错误；
根据最小正周期的求法可判断②错误；
根据正弦函数的单调性可判断③正确；
由正弦函数的对称性可判断④正确．

解答 解：函数f（x）=cosxsinx=$\frac{1}{2}$sin2x，
对于①，当f（x₁）=-f（x₂）时，sin2x₁=-sin2x₂=sin（-2x₂）
∴2x₁=-2x₂+2kπ，即x₁+x₂=kπ，k∈Z，故①错误；
对于②，由函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x知最小正周期T=π，故②错误；
对于③，令-$\frac{π}{2}$+2π≤2x≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z得-$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z
当k=0时，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，f（x）是增函数，故③正确；
对于④，将x=$\frac{3π}{4}$代入函数f（x）得，f（$\frac{3π}{4}$）=-$\frac{1}{2}$为最小值，
故f（x）的图象关于直线x=$\frac{3π}{4}$对称，④正确．
综上，正确的命题是③④．
故答案为：③④．

点评 本题主要考查了正弦函数的二倍角公式和正弦函数的性质与应用问题，是基础知识的考查．