Question

已知函数f（x）=

x-2

x+1

．
（1）求证：函数f（x）在（-1，+∞）上是增函数；
（2）设a＞1，证明方程a^x+f（x）=0没有负根．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（-1，+∞）上的单调性；
（2）可以用反证法证明，基本步骤是假设结论不成立，由假设出发，经过推理证明，得出与假设矛盾的结论，从而证明假设不成立．

解答： 解：（1）证明：设x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，…（1分）
则x₁+1＞0，x₂+1＞0，…（2分）
∴f(x2)-f(x1)=

x2-2

x2+1

-

x1-2

x1+1

=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

＞0；…（5分）
∴f（x₁）＜f（x₂），…（6分）
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；…（7分）
（2）证明：假设存在x₀＜0（x₀≠-1），满足ax0+f(x0)=0，…（8分）
则ax0=-

x0-2

x0+1

，…（10分）
且0＜ax0＜1；
∴0＜-

x0-2

x0+1

＜1，即

1

2

＜x0＜2；…（12分）
这与假设x₀＜0矛盾，
∴方程a^x+f（x）=0没有负根． …（14分）

点评：本题考查了关于函数的性质与应用的证明问题，解题时应根据题目的特点，进行分析与证明，是基础题．