Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n+2=4a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=1og₂a_n，数列{$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$}的前n项和为T_n，证明：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过在4a_n=3S_n+2中令n=1可得a₁=2，当n≥2时，利用4a_n-4a_n-1=3S_n+2-（3S_n-1+2），可得a_n=4a_n-1，进而可得结论；
（2）求得b_n=1og₂2^2n-1=2n-1，$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再由裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．

解答 解：（1）∵3S_n+2=4a_n，
∴当n=1时，3S₁+2=4a₁，
可得a₁=2，
当n≥2时，4a_n-4a_n-1=3S_n+2-（3S_n-1+2），
化简得：a_n=4a_n-1，
∴数列{a_n}是以2为首项、4为公比的等比数列，
即a_n=2•4^n-1=2^2n-1；
（2）证明：b_n=1og₂a_n=1og₂2^2n-1=2n-1，
即有$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
前n项和为T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
即为T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查求等比数列的通项，利用关系式得出数列为等比数列是解决本题的关键，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，注意解题方法的积累，属于中档题．