题目内容
已知向量
=（2cosα，2sinα），
=（3cosβ，3sinβ），若
与
的夹角为60°，则直线2xcosα-2ysinα+1=0与圆（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=1的位置关系是（ ）A．相交但不过圆心
B．相交且过圆心
C．相切
D．相离
【答案】分析：由已知利用向量的数量积的定义可求得cosαcosβ+sinαsinβ=
，要判断直线xcosα-ysinα+1=0与圆的位置关系，只要判断圆心（cosβ，-sinβ）到直线xcosα-ysinα+1=0的距离d=|cosαcosβ+sinαsinβ+1|与圆的半径的比较即可
解答：解：由题意可得|
|=2，
，
=
=2×3×
=3
又
=6cosαcosβ+6sinαsinβ=3，
∴cosαcosβ+sinαsinβ=
，
圆（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=1的圆心坐标为（cosβ，-sinβ），半径为1；
∵圆心（cosβ，-sinβ）到直线2xcosα-2ysinα+1=0的距离
d=
=
=1；
∴直线2xcosα-2ysinα+1=0与圆（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，
故选C．
点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及坐标表示，直线与圆的位置关系的判断，综合应用向量，点到直线的距离公式等知识．
，要判断直线xcosα-ysinα+1=0与圆的位置关系，只要判断圆心（cosβ，-sinβ）到直线xcosα-ysinα+1=0的距离d=|cosαcosβ+sinαsinβ+1|与圆的半径的比较即可解答：解：由题意可得|
|=2，，==2×3×=3又
=6cosαcosβ+6sinαsinβ=3，∴cosαcosβ+sinαsinβ=
，圆（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=1的圆心坐标为（cosβ，-sinβ），半径为1；
∵圆心（cosβ，-sinβ）到直线2xcosα-2ysinα+1=0的距离
d=
==1；∴直线2xcosα-2ysinα+1=0与圆（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，
故选C．
点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及坐标表示，直线与圆的位置关系的判断，综合应用向量，点到直线的距离公式等知识．
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