Question

（2012•济南二模）已知向量

m

=（2cosωx，-1），

n

=（sinωx-cosωx，2），函数f（x）=

m

•

n

+3的周期为π．
（Ⅰ） 求正数ω；
（Ⅱ） 若函数f（x）的图象向左平移

π

8

，再横坐标不变，纵坐标伸长到原来的

2

倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为

2

sin(2ωx-

π

4

)，根据周期求出ω的值．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知：f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)，再根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得 g（x）=

2

•

2

sin[2(x+

π

8

)-

π

4

]=2sin2x，由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得x的范围，即可得到函数g（x）的单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

m

•

n

+3=（2cosωx，-1）•（sinωx-cosωx，2）+3  …（1分）
=2cosωx（sinωx-cosωx）+1  …（2分）
=2sinωxcosωx-2cos²ωx+1  …（3分）
=sin2ωx-cos2ωx  …（4分）
=

2

sin(2ωx-

π

4

)． …（5分）
∵T=π，且ω＞0，∴ω=1．…（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知：f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)，…（7分）
y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得 g（x）=

2

•

2

sin[2(x+

π

8

)-

π

4

]=2sin2x． …（9分）
由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，k∈Z；…（10分）
解得kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，k∈Z；…（11分）
∴函数g（x）的单调增区间为[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈Z．…（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调增区间，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．