Question

已知向量

a

=（2cosωx，cos2ωx），

b

=（sinωx，1）（其中ω＞0），令f（x）=

a

• 

b

，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f(

π

4

)的值；
（2）写出f(x)在[-

π

2

，

π

2

]上的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）把向量

a

=（2cosωx，cos2ωx），

b

=（sinωx，1）代入f（x）=

a

• 

b

，利用二倍角公式和两角和的正弦函数化为：

2

sin(2ωx+

π

4

)，根据周期求出ω，然后求解f(

π

4

)的值；
（2）利用正弦函数的单调增区间求出函数f（x）的单调增区间，选择适当的k值求出f(x)在[-

π

2

，

π

2

]上的单调递增区间．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cosωxsinωx+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx
=

2

sin(2ωx+

π

4

)．
∵f（x）的最小正周期为π，∴ω=1．
∴f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)．
∴f(

π

4

)=

2

sin(2×

π

4

+

π

4

)=1．（6分）

（2）∵f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴当-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，
即-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ（k∈Z）时，f（x）单调递增，
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的单调递增区间为[-

3π

8

，

π

8

]．（13分）

点评：本题是基础题，考查向量的数量积，二倍角和两角和的正弦函数的化简，三角函数的单调增区间的求法，考查计算能力，是常考题型．