Question

已知双曲线的离心率为e，右顶点为A，左、右焦点分别为、，点E为右准线上的动点，的最大值为．
（1）若双曲线的左焦点为，一条渐近线的方程为，求双曲线的方程；
（2）求（用表示）；
（3）如图，如果直线l与双曲线的交点为P、Q，与两条渐近线的交点为、，O为坐标原点，求证：

Answer 1

,

解：（1）方法1 设双曲线的方程为，则其渐近线的方程为，即．又∵一条渐近线的方程是，∴，得，．故双曲线的方程为．
方法2 ∵双曲线的一条渐近线是，即，∴可设双曲线的方程为．∵焦点是，∴由得，∴，∴双曲线的方程为．
（2）设经过点A、的圆C与准线相切于点M，交于点N．
∵（当E与M重合时取“＝”），
∴．∵，∴，又∵，
∴圆C的半径．由正弦定理得，
∴．
（3）证明：方法1 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，代入中得．设，线段PQ的中点为，则．同理，将代入渐近线方程中得
．设，线段的中点为，则
，∴，即线段PQ与线段有共同的中点．当直线l的斜率不存在时，即直线l垂直于x轴时，由对称性可知线段PQ与线段有共同的中点．∴，即．
方法2 当直线l的斜率不存在或为零时，即直线l垂直于x轴或垂直于y轴时，由对称性可知线段PQ与线段有共同的中点，∴．
当直线l的斜率存在且不为零时，可设l：．设PQ的中点为，的中点为，则由点差法可得，且，∴点G、在直线：，即上．又∵点G、在直线l：上，∴点G、同为直线与的交点．
故点G、重合，∴，即．