Question

【题目】如图，四棱锥的底面是直角梯形，， ，是的中点，.

（Ⅰ）证明：⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）线段上是否存在一点，使得直线平面. 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析

【解析】

（I）依题意易得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系．通过,证得平面.（II）通过计算平面和平面的法向量，由此计算出面面角的余弦值，进而求得二面角的大小.（III）设出的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，求出关于点坐标的参数，由此判断出点的位置.

（Ⅰ）因为 平面.

所以，，又.

如图，以为原点建立空间直角坐标系．

由题意得

所以,,.

所以,,

所以,,

所以平面.

（Ⅱ）设平面的法向量为，

因为.

所以，即，

令，则.

于是.

因为⊥平面，所以为平面的法向量，

又.

所以.

因为所求二面角为钝角，所以二面角大小为.

（Ⅲ）解：设，

，

，.

设平面的法向量，

则，即 ，

令，，. 于是，

如果直线平面，

那么，解得 .

所以，存在点为线段靠近点的三等分点，使得直线平面.