Question

4．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为$\sqrt{3}$，各面上到A点距离为2的点所围成的封闭曲线的长度是$\frac{5π}{2}$．

Answer 1

分析 正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为$\frac{π}{6}$，A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=1，故各段弧圆心角为$\frac{π}{2}$这条曲线长度为3•$\frac{π}{6}$•2+3•$\frac{π}{2}$?•=$\frac{5π}{2}$．

解答 解：由题意，此问题的实质是以A为球心、2为半径的球在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各个面上交线的长度计算，
正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁为过球心的截面，截痕为大圆弧，

由AB=$\sqrt{3}$，AE=2，cos∠EAB=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠DAF=∠EAB=$\frac{π}{6}$，
则∠FAE=$\frac{π}{6}$，
同理可知：各弧圆心角为$\frac{π}{6}$，
A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，
由于截面圆半径为r=1，故各段弧圆心角为$\frac{π}{2}$
∴这条曲线长度为3•$\frac{π}{6}$•2+3•$\frac{π}{2}$•=$\frac{5π}{2}$，
故答案为：$\frac{5π}{2}$．

点评 本题考查点到直线距离公式的应用，考查空间想象能力，属于中档题．