Question

从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若b=2，设Q是椭圆上任意一点，F₂是右焦点，求△F₁QF₂的面积的最大值；
（Ⅲ）当QF₂⊥AB时，延长QF₂与椭圆交于另一点P，若△F₁PQ的面积为20（Q是椭圆上的点），求此椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM，可得k_OM=k_AB，从而可得b=c，进而可求椭圆的离心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，所以c=2，表示出△F₁QF₂的面积，即可求出F₁QF₂的面积的最大值；
（Ⅲ）设椭圆方程为，与直线联立，表示出面积，利用△F₁PQ的面积为20，即可求此椭圆的方程．
解答：解：（Ⅰ）由题意，，
因为长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM
所以k_OM=k_AB，所以，所以b=c
所以a²=2c²，
∴，
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，∵b=2，∴c=2
∴
∴△F₁QF₂的面积的最大值为4；
（Ⅲ）设椭圆方程为，与直线联立可得5x²-8bx+2b²=0．△=24b²＞0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
|PQ|=，F₁到直线PQ的距离为
∴
∴b²=25，
∴a²=50，
∴椭圆方程为．
点评：本题考查椭圆的标准方程与离心率，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确表达三角形的面积．