Question

从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁，且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线AB∥OM．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若Q是椭圆上任意一点，F₂是右焦点，求∠F₁QF₂的取值范围；
（3）过F₁作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|=3，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可设M的坐标代入椭圆方程，根据M在第二象限求得M的坐标，又根据AB∥OM可知k_AB=k_OM．进而可得-=-，求得b和c的关系，进而求得a和c的关系，椭圆的离心率可得．
（2）设|F₁Q|=m，|F₂Q|=n，代入余弦定理，根据均值不等式求得cos∠F₁QF₂的范围进而求得∠F₁QF₂的范围．
（3）根据CD∥AB，求得直线CD的斜率，进而可得直线CD的方程，与椭圆方程联立，消去y，设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），根据韦达定理进而可表示出|CD|求得b，则a可得，最后求得椭圆的方程．
解答：解：（1）由已知可设M（-c，y），
则有+=1．
∵M在第二象限，∴M（-c，）．
又由AB∥OM，可知k_AB=k_OM．
∴-=-．∴b=c．∴a=b．
∴e==．
（2）设|F₁Q|=m，|F₂Q|=n，
则m+n=2a，mn＞0．|F₁F₂|=2c，a²=2c²，
∴cos∠F₁QF₂===-1=-1≥-1=-1=0．
当且仅当m=n=a时，等号成立．
故∠F₁QF₂∈[0，]．
（3）∵CD∥AB，k_CD=-=-．
设直线CD的方程为y=-（x+c），
即y=-（x+b）．
消去y，整理得
y=-（x+b）．
则+=1，
（a²+2b²）x²+2a²bx-a²b²=0．
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），∵a²=2b²，
∴x₁+x₂=-=-=-b，
x₁•x₂=-=-=-．
∴|CD|=|x₁-x₂|
=•
=•==3．
∴b²=2，则a²=4．
∴椭圆的方程为+=1．
点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及了直线与椭圆的关系，考查了学生对问题的综合把握．