Question

3．在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，AB=CD=2，BC=3，AD=1，则四边形ABCD的面积为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连结BD，根据余弦定理列出方程解出cosA（或cosC），进而给出sinA，sinC，代入面积公式即可．

解答 解：连结BD，
在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=5-4cosA，
在△BCD中，BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC=13-12cosC．
∴5-4cosA=13-12cosC，
∵A+C=180°，
∴cosA=-cosC．
∴cosA=-$\frac{1}{2}$．
∴sinA=sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴四边形ABCD的面积S=S_△ABD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$AB×AD×sinA+$\frac{1}{2}$BC×CD×sinC=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．