Question

【题目】如图，在直三棱柱 中， 分别是 和 的中点.

(Ⅰ)求证： 平面 ；
(Ⅱ)若 上一点 满足 ，求 与 所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明： 直三棱柱 中，
,又 ， ，
取 的中点 ，连接 , 为中点， 且 .
又 为 中点， 且 ,
且 ，故四边形 为平行四边形，
， ， .
(Ⅱ)由等体积法 有 ,则 为 中点,
取 中点 ,连 , 则 ,故 与 所成角为 （或其补角）,
在 中， ,
由余弦定理有 即为所求角的余弦值
【解析】(1)根据题意作出辅助线即可得证四边形为平行四边形所以DM∥B1N，再由线面平行的判定定理即可得证。(2)由等体积法转化三棱锥的体积得到PB=1，根据题意作出辅助线进而得到N Q ∥ B1 P故故 B1 P 与 M N 所成角为 ∠ Q N M在Δ Q N M 中利用余弦定理求出此角的余弦值即可。