题目内容
已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）经过点(
，-
)，且椭圆的离心率e=
，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A、B及C、D．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：
+
为定值；
（Ⅲ）求|AB|+
|CD|的最小值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
（Ⅲ）求|AB|+
| 9 |
| 16 |
（I）由e=
=
，得
=
，
∴a2=4c2=4（a2-b2），
∴3a2=4b2．（1），…（1分）
由椭圆过点(
，-
)知，
+
=1．（2）…（2分）
联立（1）、（2）式解得a2=4，b2=3．…（3分）
故椭圆的方程是
+
=1．…（4分）
（II）
+
为定值
…（5分）
证明：椭圆的右焦点为F′（1，0），分两种情况．
1°当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，
则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，
+
=
；…（6分）
2°当直线AB的斜率存在时，
设AB：y=k（x-1）（k≠0），则CD：y=-
(x-1)．
又设点A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立方程组
，
消去y并化简得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，
∴x1+x2=
，x1•x2=
…（7分）
∴|AB|=
=
|x1-x2|
=
•
=
•
=
，…（8分）
由题知，直线CD的斜率为-
，
同理可得|CD|=
…（9分）
所以
+
=
=
为定值．…（10分）
（Ⅲ）由（II）知
+
=
，
∴|AB|+
|CD|=
(|AB|+
|CD|)(
+
)…（11分）
=
(
+
+
)
≥
(
+2
)=
，…（12分）
当且仅当
=
，
即|AB|=
|CD|，即|AB|=3，|CD|=4时取等号…（13分）
∴|AB|+
|CD|的最小值为
．…（14分）
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
| c2 |
| a2 |
| 1 |
| 4 |
∴a2=4c2=4（a2-b2），
∴3a2=4b2．（1），…（1分）
由椭圆过点(
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| a2 |
| 3 |
| 4b2 |
联立（1）、（2）式解得a2=4，b2=3．…（3分）
故椭圆的方程是
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（II）
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
| 7 |
| 12 |
证明：椭圆的右焦点为F′（1，0），分两种情况．
1°当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，
则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
| 7 |
| 12 |
2°当直线AB的斜率存在时，
设AB：y=k（x-1）（k≠0），则CD：y=-
| 1 |
| k |
又设点A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立方程组
|
消去y并化简得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，
∴x1+x2=
| 8k2 |
| 4k2+3 |
| 4k2-12 |
| 4k2+3 |
∴|AB|=
| (x1-x2)2+(y1-y2)2 |
| 1+k2 |
=
| 1+k2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
=
| 1+k2 |
|
=
| 12(k2+1) |
| 4k2+3 |
由题知，直线CD的斜率为-
| 1 |
| k |
同理可得|CD|=
| 12(1+k2) |
| 4+3k2 |
所以
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
| 7k2+7 |
| 12(k2+1) |
| 7 |
| 12 |
（Ⅲ）由（II）知
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
| 7 |
| 12 |
∴|AB|+
| 9 |
| 16 |
| 12 |
| 7 |
| 9 |
| 16 |
| 1 |
| |AB| |
| 1 |
| |CD| |
=
| 12 |
| 7 |
| 25 |
| 16 |
| ||
| |AB| |
| |AB| |
| |CD| |
≥
| 12 |
| 7 |
| 25 |
| 16 |
|
| 21 |
| 4 |
当且仅当
| ||
| |AB| |
| |AB| |
| |CD| |
即|AB|=
| 3 |
| 4 |
∴|AB|+
| 9 |
| 16 |
| 21 |
| 4 |
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