Question

1．已知x²+xy+y²=1，求x+3y的取值范围．

Answer 1

分析 讨论x=0时，x+3y的值是多少，x≠0时，设a=x+3y，两边平方，再利用已知与二次方程的判别式，求出a的取值范围即可．

解答 解：当x=0时，y²=1，∴x+3y=±3；
当x≠0时，设a=x+3y，
则a²=x²+6xy+9y²，
∴a²=$\frac{{x}^{2}+6xy+{9y}^{2}}{{x}^{2}+xy{+y}^{2}}$=$\frac{1+6•\frac{y}{x}+9{•（\frac{y}{x}）}^{2}}{1+\frac{y}{x}{+（\frac{y}{x}）}^{2}}$，
令t=$\frac{y}{x}$，化为（9-a²）t²+（6-a²）t+（1-a²）=0，
∵a²≠9，t为实数，
∴△=（6-a²）²-4（9-a²）（1-a²）≥0，
化为a²（3a²-28）≤0，a²≠9，
解得0≤a²≤$\frac{28}{3}$，
∴-$\frac{2\sqrt{21}}{3}$≤a≤$\frac{2\sqrt{21}}{3}$；
综上，x+3y的取值范围是-$\frac{2\sqrt{21}}{3}$≤a≤$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查了转化思想的应用问题，也考查了一元二次方程的判别式的应用问题，是较难的题目．