Question

13．若函数f（x）=m-$\sqrt{x+3}$的定义域为[a，b]，值域为[a，b]，则m的取值范围是（-$\frac{9}{4}$，-2]．

Answer 1

分析 根据函数单调性的性质转化为一元二次函数进行求解即可．

解答 解：函数的定义域为[-3，+∞），
则函数f（x）在[a，b]上为减函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=b}\\{f（b）=a}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m-\sqrt{a+3}=b}\\{m-\sqrt{b+3}=a}\end{array}\right.$，
即m=b+$\sqrt{a+3}$①，且m=a+$\sqrt{b+3}$，②
即b+$\sqrt{a+3}$=a+$\sqrt{b+3}$，
则$\sqrt{a+3}$-$\sqrt{b+3}$=a-b=（a+3）-（b+3）=（$\sqrt{a+3}$-$\sqrt{b+3}$）（$\sqrt{a+3}$+$\sqrt{b+3}$），
则$\sqrt{a+3}$+$\sqrt{b+3}$=1
①+②得2m=a+b+$\sqrt{a+3}$+$\sqrt{b+3}$=a+b+1，
设p=$\sqrt{a+3}$，q=$\sqrt{b+3}$，则p+q=1，a=p²-3，b=q²-3=（1-p）²-3，
代入得m=$\frac{a+b+1}{2}$=p²-p-2=（p-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∵p+q=1，且p，q为非负数，则0≤p≤1，
∴由二次函数的值域可得，当p=$\frac{1}{2}$时，q=$\frac{1}{2}$，与a＜b矛盾，
m取不到最小值-$\frac{9}{4}$，
当p=0或1时，m取得最大值-2，
故m的取值范围是（-$\frac{9}{4}$，-2]，
故答案为：（-$\frac{9}{4}$，-2]

点评 本题主要考查函数定义域和值域的应用，根据条件转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．