Question

【题目】已知函数 ．

（1）若，求在处的切线方程；

（2）若对于任意的正数，恒成立，求实数的值；

（3）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）切线方程为（2）（3）

【解析】

（1）利用导数的几何意义得到切线斜率，利用点斜式可得切线方程；

（2）对分类讨论，简化不等式，即可得到实数的值；

（3）函数存在两个极值点等价于存在两个不相等的零点．设，研究函数的单调性与极值即可.

（1）因为 ，所以当时，，

则，

当时，，

所以在处的切线方程为；

（2）因为对于任意的正数，恒成立，

所以当时，即时，，；

当时，即时，恒成立，所以；

当时，即时，恒成立，所以，

综上可知，对于任意的正数，恒成立，．

（3）因为函数存在两个极值点，

所以存在两个不相等的零点．

设，则．

当时，，所以单调递增，至多一个零点．

当时，因为时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以时，．

因为存在两个不相等的零点，所以，解得．

因为，所以．

因为，所以在上存在一个零点．

因为，所以．又因为，

设，则，因为，

所以单调递减，所以，

所以，所以在上存在一个零点．

综上可知：．