Question

【题目】已知函数f（x）＝x3ax2﹣x+1（a∈R）．

（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；

（2）当a＜0时，设g（x）＝f（x）+x．

①求函数g（x）的极值；

②若函数g（x）在[1，2]上的最小值是﹣9，求实数a的值．

Answer 1

【答案】（1）8x﹣y﹣4＝0；（2）①极大值是1，极小值为，②﹣3

【解析】

（1）求出导数，再求出，然后代入直线的点斜式，求出切线方程；

（2）①求出导数的零点，然后判断零点左右的符号，确定极值情况；②因为函数连续，所以只需综合极值、端点处函数值，大中取大，小中取小，确立函数的最值.

解：（1）当a＝2时，f（x）＝x3+3x2﹣x+1，＝3x2+6x﹣1，

∴k＝＝8，f（1）＝4，故切线方程为y﹣4＝8（x﹣1），即：8x﹣y﹣4＝0．

（2）①g（x）＝f（x）+x＝x3，a＜0，

∴令g′（x）＝3x2+3ax＝3x（x+a）＝0得x1＝0，x2＝﹣a＞x1．

随着x的变化，g（x）和g′（x）的变化如下：

x	（﹣∞，0）	0	（0，﹣a）	﹣a	（﹣a，+∞）
g′（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以g（x）的极大值是g（0）＝1；极小值为g（﹣a）．

②g′（x）＝3x2+3ax＝3x（x+a），

（1）当﹣1≤a＜0时，g′（x）≥0，g（x）在[1，2]内递增，

g（x）min＝g（1）（舍去）．

（2）当﹣2＜a＜﹣1时，则x，g′（x），g（x）关系如下：

x	（1，﹣a）	﹣a	（﹣a，2）
g′（x）	﹣	0	＝
g（x）	↓	极小值	↑

g（x）min＝g（﹣a）（舍）．

（3）当a≤﹣2时，g（x）在[1，2]内单调递减，

g（x）min＝g（2）＝6a+9＝﹣9，a＝﹣3．

综上可知，a＝﹣3．