Question

（本小题满分14分）

已知三次函数图象上点（1，8）处的切线经过点（3，0），并且在x=3处有极值.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若当x∈（0，m）时，>0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）图象过点（1，8），∴a−5+c+d=8，即a+c+d=13  ①    （2分）

又f^/（x）=3ax²−10x+c，且点（1，8）处的切线经过（3，0），

∴f^/（1）== −4，即3a−10+c= −4，∴3a+c=6  ②                （4分）

又∵f（x）在x=3 处有极值，∴f ^/（3）=0，即27a+c=30  ③           （5分）

联立①、②、③解得a=1，c=3，d=9，  f（x）= x³−5x²+3x+9                (7分)

（2）f ^/（x）=3x²−10x+3=（3x−1）（x−3） 由f ^/（x）=0得x₁=，x₂=3       (8分)

当x∈（0，）时，f ^/（x）>0，f（x）单调递增，∴f（x）>f（0）=9    

当x∈（，3）时，f ^/（x）<0，f（x）单调递减，∴f（x）>f（3）=0．  (11分)

又∵f（3）=0，∴当m>3时，f（x）>0在（0，m）内不恒成立．

∴当且仅当m∈（0，3]时，f（x）>0在（0，m）内恒成立．

所以m取值范围为（0，3] ．                    （14分）