Question

18．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．
（1）求圆M的方程；
（2）若直线l“mx-2y-（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由点的坐标求出弦的中垂线方程，联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆的方程可求；
（2）由题意可知∠PMQ=90°，结合圆的半径求出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式求解．

解答 解：（1）如图，
AB所在直线方程为x=2，AC所在直线方程为y=x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得M（2，2），
又|MA|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（2-0）^{2}}=\sqrt{5}$，
∴圆M的方程为（x-2）²+（y-2）²=5；
（2）∵$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，∴∠PMQ=90°，
则|PQ|=$\sqrt{10}$，∴M到直线mx-2y-（2m+1）=0的距离为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
由$\frac{|2m-4-2m-1|}{\sqrt{{m}^{2}+4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，解得：m=$±\sqrt{6}$．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．