Question

16．求和：S_n=2${C}_{n}^{1}$+5${C}_{n}^{2}$+8${C}_{n}^{3}$+…+（3n-1）${C}_{n}^{n}$．

Answer 1

分析 根据题意，观察所给代数式的结构特点，补出${C}_{n}^{0}$后可以应用倒序相加的运算，再等式两边同除以2，
即可求出和值．

解答 解：∵S_n=2${C}_{n}^{1}$+5${C}_{n}^{2}$+8${C}_{n}^{3}$+…+（3n-1）${C}_{n}^{n}$，
∴S_n-1=-${C}_{n}^{0}$+2${C}_{n}^{1}$+5${C}_{n}^{2}$+8${C}_{n}^{3}$+…+（3n-1）${C}_{n}^{n}$①，
则S_n-1=（3n-1）${C}_{n}^{n}$+（3n-4）${C}_{n}^{n-1}$+（3n-7）${C}_{n}^{n-2}$+（3n-10）${C}_{n}^{n-3}$+…+（-1）${C}_{n}^{0}$②；
①+②得2（S_n-1）=（3n-1-1）（${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$+${C}_{n}^{3}$+…+${C}_{n}^{n}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$•（3n-2）•2ⁿ+1
=（3n-2）•2^n-1+1．

点评 本题考查了组合与组合数的公式和性质的应用问题，也考查了等差数列求和公式推导的方法--倒序相加法，是中档题目．