Question

已知椭圆C的焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），点在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若抛物线y²=2px（p＞0）与椭圆C相交于点M、N，当△OMN（O是坐标原点）的面积取得最大值时，求p的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的定义及参数a，b，c的关系即可得出；
（2）利用椭圆和抛物线的对称性，可设出点P的坐标，进而表示出三角形的面积，利用基本不等式的性质及点在椭圆上即可得出．
解答：解：（1）依题意，设椭圆C的方程为，
∵2a=|PF₁|+|PF₂|==，∴，c=1，∴，
∴椭圆C的方程为．
（2）根据椭圆和抛物线的对称性，设M（x，y）、N（x，-y）（x，y＞0），
△OMN的面积，
∵M（x，y）在椭圆上，∴，
∴，等号当且仅当时成立，
解（x，y＞0）得，M（x，y）即．
∵点M在抛物线y²=2px上，∴，解得．
∴p=．
点评：熟练正确圆锥曲线的定义及其性质、基本不等式的性质是解题的关键．