Question

如图，已知椭圆C的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），B是它的下顶点，F是其右焦点，BF的延长线与椭圆及其右准线分别交于P、Q两点，若点P恰好是BQ的中点，则此椭圆的离心率是

 

．

Answer 1

分析：根据B，F点坐标可知直线BP的方程，进而根据P恰好是BQ的中点求得P点横坐标，代入直线方程后求得P点纵坐标代入椭圆方程即可求得a和c的关系，进而求得椭圆的离心率．

解答：解：依题意可知直线BP的方程为y=

b

c

x-b，
∵P恰好是BQ的中点，∴x_p=

a2

2c

，
∴y_p=b（

a2

2c 2

-1）代入椭圆方程得

a2

4c2

+（

a2

2c2

-1）²=1，
解得

a

c

=

3

，
∴椭圆的离心率为

c

a

=

3

3

，
故答案为

3

3

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．