Question

（2012•通州区一模）已知椭圆C的焦点在y轴上，离心率为

2

2

，且短轴的一个端点到下焦点F的距离是

2

．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）设直线y=-2与y轴交于点P，过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程，利用短轴的一个端点到下焦点F的距离是

2

，离心率为

2

2

，可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（0，-1），P（0，-2），且直线l的斜率存在，设其方程代入椭圆方程，从而可表示△PAB面积，利用基本不等式，即可求得△PAB面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因为椭圆C的焦点在y轴上，所以设椭圆C的方程是

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．…（1分）
因为短轴的一个端点到下焦点F的距离是

2

，离心率为

2

2

所以a=

2

，c=1
所以b²=a²-c²=1
所以椭圆C的标准方程是

y2

2

+x2=1                 …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（0，-1），P（0，-2），且直线l的斜率存在，
设其方程为：y=kx-1，代入椭圆方程可得（2+k²）x²-2kx-1=0…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x₁+x₂=

2k

2+k2

，x₁x₂=

-1

2+k2

．…（7分）
所以△PAB面积S_△PAB=

1

2

|PF||x₁-x₂|（x₁，x₂异号）．
所以S_△PAB=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 (1+k2)+ 1 1+k2 +2

≤

2

2

…（12分）
当且仅当1+k2=

1

1+k2

，即k=0时，S_△PAB有最大值是

2

2

所以当k=0时，△PAB面积的最大值是

2

2

…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．