Question

12．已知x＞0，y＞0，且$\frac{4}{x}$+$\frac{3}{y}$=1．
（Ⅰ）求xy的最小值，并求出取得最小值时x，y的值；
（Ⅱ）求x+y的最小值，并求出取得最小值时x，y的取值．

Answer 1

分析 （I）利用基本不等式的性质即可得出．
（Ⅱ）解法一：由$\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=1$，得$x=\frac{4y}{y-3}$，由x＞0，可得y＞3，则x+y=y+$\frac{4y}{y-3}$=（y-3）+$\frac{12}{y-3}+7$，利用基本不等式的性质即可得出．
解法二：由于$\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=1$，则x+y=（$\frac{4}{x}+\frac{3}{y}$）•（x+y）=7+$\frac{4y}{x}+\frac{3x}{y}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$1=\frac{4}{x}+\frac{3}{y}≥2\sqrt{\frac{4}{x}•\frac{3}{y}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{{\sqrt{xy}}}$，得xy≥48，
当且仅当3x=4y时，时等号成立．将3x=4y代入$\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=1$，解得x=8，y=6．
∴xy的最小值为48，取得最小值时x=8，y=6．
（Ⅱ）解法一：由$\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=1$，得$x=\frac{4y}{y-3}$，∵x＞0，∴y＞3，
则x+y=y+$\frac{4y}{y-3}$=（y-3）+$\frac{12}{y-3}+7$≥$7+4\sqrt{3}$，
当且仅当y-3=$\frac{12}{y-3}$，即$x=4+2\sqrt{3}$，$y=3+2\sqrt{3}$，时等号成立．
∴x+y的最小值为$7+4\sqrt{3}$，取得最小值时$x=4+2\sqrt{3}$，$y=3+2\sqrt{3}$．
解法二：由于$\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=1$，
则x+y=（$\frac{4}{x}+\frac{3}{y}$）•（x+y）=7+$\frac{4y}{x}+\frac{3x}{y}$≥7+2$\sqrt{12}$=$7+4\sqrt{3}$，
当且仅当$x=4+2\sqrt{3}$，$y=3+2\sqrt{3}$时等号成立．
∴x+y的最小值为$7+4\sqrt{3}$，取得最小值时$x=4+2\sqrt{3}$，$y=3+2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．