题目内容
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，直线
被圆
截得的弦长为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
的直线
交椭圆于
，
两点，在
轴上是否存在定点
，使得
为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）
，
.
【解析】
（1）由椭圆
的离心率为
，求得
,再由圆的性质和圆的弦长公式，求得
，进而可求解椭圆的标准方程；
（2）设
的方程：
，联立方程组，利用根与系数的关系，求得
，再利用向量的数量积的运算和代数式的性质，即可得到结论。
（1）∵椭圆的离心率为，∴,
∵圆
的圆心到直线
的距离为
,
∴直线被圆截得的弦长为
.
解得，故
，∴椭圆的方程为.
（2）设
，
，
，
当直线与
轴不重合时，设的方程：.
由
得
，
，
∴
，
，
，
当
，即
时，
的值与
无关，此时
.
当直线与轴重合且时，
.
∴存在点
，使得
为定值.
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