Question

【题目】在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，且，，．

（I）求证：；

（II）求二面角_____的余弦值；

从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

（III）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行．

Answer 1

【答案】（I）见解析（II）见解析（III）见解析

【解析】

（I）根据面面垂直的性质及线面垂直的判定定理，可证明平面，进而证明；

（II）在平面内过点D作，交于H，以D为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得各平面法向量，由法向量法即可求得各二面角的大小；

（III）假设棱BC上存在点F，．设表示出，，设，可得关于的方程组，方程组无解即可确定与不平行.

（I）证明：因为平面平面，平面平面，

平面，，

所以平面，

又因为平面，

所以．

（Ⅱ）选择①：在平面内过点D作，交于H．

由（I）可知，平面，所以．

故两两垂直，

如图，以D为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则．

因为平面，所以平面的一个法向量为．

而，，

设平面的一个法向量为

则由，得，

取，有．

所以．

由题知二面角为锐角，

故二面角的余弦值为．

选择②：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，）

平面ABCD的一个法向量为；

平面PBD的一个法向量为；

二面角为钝角：二面角的余弦值为．

选择③：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，）

平面ABCD的法向量；

平面PBC的法向量；

二面角为锐角；二面角的余弦值为．

（Ⅲ）假设棱BC上存在点F，．设．

依题意，可知，，

，，

，，设，

则，而此方程组无解，

故假设不成立，所以结论成立．