题目内容

已知函数 $数学公式$
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；
（II）若在区间[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，求实数a的取值范围．

解：（I）因为 $\text{[math]}$ ，（2分）
当a=1， $\text{[math]}$ ，
令f'（x）=0，得x=1，（3分）
又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以x=1时，f（x）的极小值为1．（5分）
f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分）
（II）因为 $\text{[math]}$ ，且a≠0，
令f'（x）=0，得到 $\text{[math]}$ ，
若在区间[1，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，
其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（7分）
（1）当 $\text{[math]}$ ，
即a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，
故f（x）在区间[1，e]上的最小值为 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ （9分）
（2）当 $\text{[math]}$ ，即a＞0时，
①若 $\text{[math]}$ ，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，
所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，
所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为 $\text{[math]}$ ，
显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立（11分）
②若 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，则有

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，
得1-lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．（13分）
综上，由（1）（2）可知： $\text{[math]}$ 符合题意．（14分）
分析：（Ⅰ）求函数 $\text{[math]}$ 的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值；
（II）若在区间（0，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区间[1，e]上的最小值，先求出导函数f'（x），然后讨论研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．
点评：本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的计算能力．