Question

如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）求四棱锥E-ABCD的体积；
（3）设点M在线段AB上，且AM=MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据BC的平行线DA⊥平面ABE，可得BC⊥平面ABE，从而AE⊥BC，再结合AE⊥BF，利用线面垂直的判定定理得到AE⊥面BEC，从而AE⊥BE，再用一次线面垂直的判定定理得到BE⊥面DAE，所以DE⊥BE；
（2）作EH⊥AB于H，根据面面垂直的性质可得EH⊥面ABCD，再在等腰Rt△AEB中结合已知条件的数据，算出，最后用锥体体积公式可求出四棱锥E-ABCD的体积；
（3）设P是BE的中点，连接MP，FP．利用三角形中位线定理结合线面平行的判定，得到FP∥平面DAE且MP∥平面DAE，从而平面MPF∥面DAE，由此得到直线MF∥面DAE，可得点N就是点F．
解答：解：（1）∵DA⊥平面ABE，BC∥DA
∴BC⊥平面ABE，
∵AE?平面ABE，∴AE⊥BC，
又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
∴AE⊥BF…（2分）
∵BC∩BF=B，∴AE⊥面BEC，
又∵BE?平面BEC，∴AE⊥BE
∵AD⊥BE，AE∩AD=A，∴BE⊥面DAE，
∵DE?面DAE，∴DE⊥BE…（4分）
（2）作EH⊥AB于H，
∵DA⊥平面ABE，DA?面ABCD，∴面ABCD⊥面ABE，
∵EH⊥AB，面ABCD∩面ABE=AB，∴EH⊥面ABCD
∵AE⊥BE，AE=EB=BC=2，
∴等腰Rt△AEB中，…（6分）
因此，…（8分）
（3）设P是BE的中点，连接MP，FP
∵BE=BC，BF⊥CE，∴F是EC的中点…（10分）
∵△ECB中，FP是中位线，∴FP∥BC∥DA
∵DA?平面DAE，FP?平面DAE
∴FP∥平面DAE，同理可得MP∥平面DAE，
∵AE∩DA=A，∴平面MPF∥面DAE，
因此，直线MF∥面DAE，可得点N就是点F
所以CE的中点N满足MN∥平面DAE．…（12分）
点评：本题以一个特殊的四棱锥为例，证明了线线垂直和线面平行，并且求了四棱锥的体积，着重考查了空间平行与垂直位置关系的证明和锥体体积公式等知识，属于基础题．