Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直.

注：为自然对数的底数.

（1）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；

（2）求证：当时，.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数，由曲线在点处的切线与直线垂直可得，可求出的值，这时，讨论导数的符号知函数仅当时，取得极值，由即可求实数的取值范围；（2）当时，令，令，由证之即可.

试题解析： （1）因为，所以.………………1分

又据题意，得，所以，所以.………………2分

所以.

所以.………………3分

当时，，为增函数；

当时，，为减函数.

所以函数仅当时，取得极值.………………4分

又函数在区间上存在极值，所以，所以.

故实数的取值范围是.………………5分

（2）当时，，即为.………………6分

令，则.

再令，则.

又因为，所以.

所以在上是增函数.………………7分

又因为，

所以当时，.

所以在区间上是增函数.

所以当时，，又，故.………………9分

令，则.

因为，所以.

所以当时，，故函数在区间上是减函数.

又，………………11分

所以当时，，

所以，即.………………12分