Question

如图，设椭圆的左右焦点为，上顶点为，点关于对称，且

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知是过三点的圆上的点，若的面积为，求点到直线距离的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）4

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论；(3)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，用几何法；若方程中含参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．

试题解析：【解析】
（1） 2分

由及勾股定理可知，即 4分

因为，所以，解得 6分

（2）由（1）可知是边长为的正三角形，所以

解得 8分

由可知直角三角形的外接圆以为圆心，半径

即点在圆上， 10分

因为圆心到直线的距离为 12分

故该圆与直线相切，所以点到直线的最大距离为 13分

考点：1、椭圆的离心率；2、直线与圆的应用．