Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-$\frac{2}{3}$，且S_n+$\frac{1}{S_n}$+2=a_n（n≥2），
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据所给递推式计算；
（2）使用数学归纳法证明．

解答 解：（1）S₁=a₁=-$\frac{2}{3}$，∵S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$+2=a_n=S_n-S_n-1，
∴S₂=-$\frac{3}{4}$，S₃=-$\frac{4}{5}$，S₄=-$\frac{5}{6}$．
（2）猜想：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$．
证明：①当n=1时，S₁=-$\frac{2}{3}$显然成立，
②假设当n=k时结论成立，即S_k=-$\frac{k+1}{k+2}$．
∵a_k+1=S_k+1-S_k=S_k+1+$\frac{1}{{S}_{k+1}}$+2，
∴$\frac{1}{{S}_{k+1}}+2=-{S}_{k}$，
∴S_k+1=-$\frac{1}{{S}_{k}+2}$=-$\frac{k+2}{k+3}$，即当n=k+1时结论也成立．   
综合①②可知，猜想正确．

点评 本题考查了数学归纳法证明，属于基础题．