Question

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．

(1)设AD＝x(x≥0)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；

(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x·AE·cos60°y2＝x2＋AE2－x·AE，① 　　又S△ADE＝S△ABC＝a2＝x·AE·sin60°x·AE＝2．② 　　②代入①得y2＝x2＋－2(y＞0)， 　　∴y＝(1≤x≤2)． 　　(2)如果DE是水管y＝≥， 　　当且仅当x2＝，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝． 　　如果DE是参观线路，记f(x)＝x2＋，可知函数在[1，]上递减， 　　在[，2]上递增，故f(x)max＝f(1)＝f(2)＝5． 　　∴ymax＝． 　　即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．