Question

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
（1）设AD=x（x≥0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．

Answer 1

分析：（1）先根据S_△ADE=

1

2

S_△ABC求得x和AE的关系，进而根据余弦定理把x和AE的关系代入求得x和y的关系．
（2）根据均值不等式求得y的最小值，求得等号成立时的x的值，判断出DE∥BC，且DE=

2

．进而可得函数f（x）的解析式，根据其单调性求得函数的最大值．

解答：解（1）在△ADE中，y²=x²+AE²-2x•AE•cos60°?y²=x²+AE²-x•AE，①
又S_△ADE=

1

2

S_△ABC=

3

2

2²=

1

2

x•AE•sin60°?x•AE=2．②
②代入①得y²=x²+(

2

x

)2-2（y＞0），
∴y=

x2+ 4 x2 -2

（1≤x≤2）；
（2）如果DE是水管y=

x2+ 4 x2 -2

≥

2•2-2

=

2

，
当且仅当x²=

4

x2

，即x=

2

时“=”成立，故DE∥BC，且DE=

2

．
如果DE是参观线路，记f（x）=x²+

4

x2

，
可知函数在[1，

2

]上递减，在[

2

，2]上递增，
故f（x）_max=f（1）=f（2）=5．∴y_max=

5-2

=

3

．
即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．

点评：本题主要考查了基本不等式．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．