题目内容
6．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|-|MF2|=2b，该双曲线的离心率为e，则e2=（ ）| A． | 2 | B． | $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$ | C． | $\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ |
分析 联立圆与渐近线方程，求得M的坐标，利用两点之间的距离公式，化简即可求得双曲线的离心率．
解答 解：由题意可知：以线段F1F2为直径的圆的方程x2+y2=c2，
双曲线经过第一象限的渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=b}\end{array}\right.$，
则M（a，b），
由|MF1|-|MF2|=2b，即$\sqrt{（a+c）^{2}+{b}^{2}}$-$\sqrt{（a-c）^{2}+{b}^{2}}$=2b，
由b2=a2-c2，e=$\frac{c}{a}$，
化简整理得：e4-e2-1=0，
由求根公式可知e2=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，由e＞1，
则e2=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故选D．
点评 本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | （-∞，-1） | B． | （-1，1） | C． | （1，+∞） | D． | （-∞，-1）∪（1，+∞） |
15．设α=300°，则与α终边相同的角的集合为（ ）
| A． | {α|α=k•360°-30°，k∈Z} | B． | {α|α=k•360°-60°，k∈Z} | ||
| C． | {α|α=k•360°+30°，k∈Z} | D． | {α|α=k•360°+60°，k∈Z} |