Question

11．（1）已知a＞0，求证：$\sqrt{a+5}-\sqrt{a+3}＞\sqrt{a+6}-\sqrt{a+4}$
（2）证明：若a，b，c均为实数，且$a={x^2}-2y+\frac{π}{2}$，$b={y^2}-2z+\frac{π}{3}$，$c={z^2}-2x+\frac{π}{6}$，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

Answer 1

分析 （1）利用分析法，推出不等式成立的充分条件20＞18即可证明结果．
（2）利用反证法，推出矛盾结论即可证明不等式．

解答 （1）证明：要证：$\sqrt{a+5}-\sqrt{a+3}＞\sqrt{a+6}-\sqrt{a+4}$，只需证：$\sqrt{a+5}+\sqrt{a+4}＞\sqrt{a+6}+\sqrt{a+3}$
只需证：${（\sqrt{a+5}+\sqrt{a+4}）^2}＞{（\sqrt{a+6}+\sqrt{a+3}）^2}$
即证：$2a+9+2\sqrt{（a+5）（a+4）}＞2a+9+2\sqrt{（a+6）（a+3）}$，
即证：$\sqrt{（a+5）（a+4）}＞\sqrt{（a+6）（a+3）}$
只需证：（a+5）（a+4）＞（a+6）（a+3），即证：20＞18，∵上式显然成立，
∴原不等式成立．
（2）设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∴a+b+c≤0
而$a+b+c=（{x^2}-2y+\frac{π}{2}）+（{y^2}-2z+\frac{π}{2}）+（{z^2}-2x+\frac{π}{6}）$
=（x²-2x）+（y²-2y）+（z²-2z）+π=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3
∴a+b+c＞0，这与a+b+c≤0矛盾，故假设是错误的
故a，b，c中至少有一个大于0．

点评 本题考查不等式的证明方法，反证法以及分析法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．