Question

已知，函数.
（1）求的极值；
（2）若在上为单调递增函数，求的取值范围；
（3）设，若在（是自然对数的底数）上至少存在一个，使得成立，求的取值范围。

Answer 1

（1） 无极大值（2）（3）

试题分析：（1）由题意，，，
∴当时，；当时，，
所以，在上是减函数，在上是增函数，
故 无极大值.                                                    …4分
（2），，
由于在内为单调增函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立，故，所以的取值范围是．…………………9分
（3）构造函数，
当时，由得，，，所以在上不存在一个，使得．
当时，，
因为，所以，，
所以在上恒成立，
故在上单调递增，，
所以要在上存在一个，使得，必须且只需，
解得，故的取值范围是．                                       …14分
另法:（Ⅲ）当时，．
当时，由，得 ，
令，则，
所以在上递减，．
综上，要在上存在一个，使得，必须且只需．
点评：纵观历年高考试题，利用导数讨论函数单调区间是函数考查的主要形式，是高考热点，是解答题中的必考题目，在复习中必须加强研究，进行专题训练，熟练掌握利用导数判断函数单调区间的方法，总结函数单调性应用的题型、解法，并通过加大训练强度提高解题能力.