Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知3cosAcosC+2=3sinAsinC+2cos²B
（Ⅰ）求角B的大小
（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和三角函数公式化简可得cosB=$\frac{1}{2}$，可得B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式可得b²≥$\frac{1}{4}$，再由三角形三边关系可得．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中3cosAcosC+2=3sinAsinC+2cos²B，
∴3（cosAcosC-sinAsinC）=2cos²B-2
∴3cos（A+C）=2cos²B-2
∴-3cosB=2cos²B-2
解得cosB=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵a+c=1，∴由余弦定理可得
b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac
=1-3ac≥1-3（$\frac{a+c}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，当且仅当a=c=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴b≥$\frac{1}{2}$，再由三角形三边关系可得b＜a+c=1，
综合可得b的取值范围为[$\frac{1}{2}$，1）

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及余弦定理和基本不等式，属中档题．