Question

已知曲线C上任意一点P到点F（

3

，0）和直线l：x=

4

3

的距离之比为

3

2

．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设过（0，-2）的直线l与曲线C交于A、B两点，以AB为直径的圆过曲线C的中心，求直线l的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线的一般式方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）直接由题意列式，整理后即可得到曲线C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，当直线斜率不存在时不合题意；当直线斜率存在时，写出直线方程，和椭圆方程联立后由根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的积，然后由向量数量积为0得答案．

解答： 解：（Ⅰ）设P（x，y），由题意得，

(x- 3 )2+y2

|x- 4 3 |

=

3

2

，两边平方后整理得：

x2

4

+y2=1．
故曲线C的方程为：

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，不满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程组

x2 4 +y2=1 y=kx-2

，得（1+4k²）x²-16kx+12=0．
则x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

，
∵以AB为直径的圆过曲线C的中心，
∴

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，
y1y2=k2x1x2-2k(x1+x2)+4，
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0，
∴(1+k2)•

12

1+4k2

-2k•

16k

1+4k2

+4=0，
解得：k=2或k=-2，
经检验符合△＞0．
∴直线l的方程为：y=2x-2或y=-2x-2．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线方程与圆锥曲线方程，然后利用根与系数关系求解，是中档题．