Question

（本小题满分14分） 设函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若存在，使得成立，求满足条件的最大整数；

（Ⅲ）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） ①当时，函数在上单调递增,②当时，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为；

（Ⅱ）18；（Ⅲ）。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）对函数求导，根据的不同取值，讨论的符号，即可函数的单调性；

（Ⅱ） 存在，使得等价于在区间上，，对函数求导，研究其单调性与最值即可；

（Ⅲ）任意的，都有成立等价于在区间上，函数，由导数与函数单调性与最值关系，分别求函数的最小值与函数的最大值，解不等式即可.

试题解析：（Ⅰ）, 定义域（0，） 1分

①当时，，函数在上单调递增, 2分

②当时，，函数的单调递增区间为.

，函数的单调递减区间为. 4分

（Ⅱ）存在，使得成立,

等价于. 5分

考察

			0				3
		+	0	-	0	+
		递增		递减		递增	15

由上表可知，

，

所以满足条件的最大整数． 9分

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知，在上是减函数，

在上增函数，而

的最大值是1. 10分

要满足条件，则只需当时，恒成立,

等价于恒成立,

记，，. 11分

当时,即函数在区间上递增，

当时,即函数在区间上递减，

取到极大值也是最大值． 13分

所以. 14分

另解:设，

由于，

所以在上递减，又

当时，时，

即函数在区间上递增，在区间上递减， 13分

所以，所以. 14分

考点：导数与函数单调性、极值、最值，不等式恒成立问题的化归与转化.