题目内容
双曲线| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| F2O |
| AB |
| OF2 |
| OA |
| OA |
| OB |
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）若此双曲线过C(2，
| 3 |
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过D1的直线l交双曲线于点M、N，
| D2M |
| D2N |
分析：（Ⅰ）
=
?四边形F2ABO是平行四边形，由
•
=0，知平行四边形F2ABO是菱形．由此能求出双曲线的离心率e．
（Ⅱ）由
=2?b2=c2-a2=3a2，双曲线方程为
-
=1，把点C(2，
)代入得a2=3，由此能求出双曲线方程．
（Ⅲ）D1（0，-3），D2（0，3），设l的方程为y=kx-3，M（x1，y1），N（x2，y2），由
?(3-k2)x2+6kx-18=0，因l与双曲线有两个交点，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
| F2O |
| AB |
| OA |
| BF2 |
（Ⅱ）由
| c |
| a |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 3a2 |
| 3 |
（Ⅲ）D1（0，-3），D2（0，3），设l的方程为y=kx-3，M（x1，y1），N（x2，y2），由
|
解答：
解：（Ⅰ）
=
?四边形F2ABO是平行四边形，
∴
(
-
)=0，即
•
=0，
∴
⊥
，
∴平行四边形F2ABO是菱形．
如图，则r2=d1=c，r1=2a+r2=2a+c，
由双曲线定义得r1=d1e?2a+c=ce?e2-e-2=0，
∴e=2（e=-1舍去）（3分）
（Ⅱ）由
=2?b2=c2-a2=3a2，
双曲线方程为
-
=1，
把点C(2，
)代入有得a2=3，
∴双曲线方程
-
=1．（6分）
（Ⅲ）D1（0，-3），D2（0，3），
设l的方程为y=kx-3，M（x1，y1），N（x2，y2）
则由
?(3-k2)x2+6kx-18=0，
因l与双曲线有两个交点，∴3-k2≠0．
∵x1+x2=
，x1•x2=
，
△=36k2+4×18（3-k2）＞0（8分）
∴y1+y2=k(x1+x2)-6=
，
y1•y2=k2x1x2-3k（x1+x2）+9=9Q
=(x1，y1-3)，
=(x2，y2-3)，
⊥
?x1•x2+y1•y2-3（y1+y1）+9=0
∴
+9-3
+9=0?k2=5，
满足△＞0，
∴k=±
（11分）
故所求直线l方程为y=
x-3或y=-
x-3（13分）
解：（Ⅰ）| F2O |
| AB |
∴
| OA |
| OF2 |
| OB |
| OA |
| BF2 |
∴
| OA |
| BF2 |
∴平行四边形F2ABO是菱形．
如图，则r2=d1=c，r1=2a+r2=2a+c，
由双曲线定义得r1=d1e?2a+c=ce?e2-e-2=0，
∴e=2（e=-1舍去）（3分）
（Ⅱ）由
| c |
| a |
双曲线方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 3a2 |
把点C(2，
| 3 |
∴双曲线方程
| x3 |
| 3 |
| y2 |
| 9 |
（Ⅲ）D1（0，-3），D2（0，3），
设l的方程为y=kx-3，M（x1，y1），N（x2，y2）
则由
|
因l与双曲线有两个交点，∴3-k2≠0．
∵x1+x2=
| -6k |
| 3-k2 |
| -18 |
| 3-k2 |
△=36k2+4×18（3-k2）＞0（8分）
∴y1+y2=k(x1+x2)-6=
| -18 |
| 3-k2 |
y1•y2=k2x1x2-3k（x1+x2）+9=9Q
| D2M |
| D2M |
| D2M |
| D2N |
∴
| -18 |
| 3-k2 |
| -18 |
| 3-k2 |
满足△＞0，
∴k=±
| 5 |
故所求直线l方程为y=
| 5 |
| 5 |
点评：本题考查双曲线的离心率和双曲线方程的求法，求直线方程．主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
若点O和点F（-2，0）分别是双曲线
-y2=1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则
•
的取值范围为（ ）
| x2 |
| a2 |
| OP |
| FP |
A、[3-2
| ||
B、[3+2
| ||
C、[-
| ||
D、[
|
已知双曲线
-y2=1的一个焦点坐标为(-
，0)，则其渐近线方程为（ ）
| x2 |
| a2 |
| 3 |
A、y=±
| ||||
B、y=±
| ||||
| C、y=±2x | ||||
D、y=±
|