题目内容

若点O和点F(-2,0)分别是双曲线
x2
a2
-y2=1(a>0)
的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则
OP
FP
的取值范围为(  )
A、[3-2
3
,+∞)
B、[3+2
3
,+∞)
C、[-
7
4
,+∞)
D、[
7
4
,+∞)
分析:先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a,则双曲线的方程可得,设出点P,代入双曲线方程求得y0的表达式,根据P,F,O的坐标表示出
OP
FP
,进而求得
OP
FP
的表达式,利用二次函数的性质求得其最小值,则
OP
FP
的取值范围可得.
解答:解:因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,
所以a2+1=4,即a2=3,所以双曲线方程为
x2
3
-y2=1

设点P(x0,y0),
则有
x02
3
-y02=1(x0
3
)
,解得y02=
x02
3
-1(x0
3
)

因为
FP
=(x0+2,y0)
OP
=(x0y0)

所以
OP
FP
=x0(x0+2)+y02
=x0(x0+2)+
x02
3
-1
=
4x02
3
+2x0-1

此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-
3
4

因为x0
3

所以当x0=
3
时,
OP
FP
取得最小值
4
3
×3+2
3
-1
=3+2
3

OP
FP
的取值范围是[3+2
3
,+∞)

故选B.
点评:本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力.
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