Question

设圆C的圆心为双曲线

x2

a2

-y2=1(a＞0)的左焦点，且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l：x-y+2=0截得的弦长等于

2

，则a等于（　　）

• A．1
• B．

  6

• C．2

  2

• D．4

Answer 1

分析：先利用圆与双曲线的渐近线相切得圆的半径，再利用圆C被直线l截得的弦长等于2，求出a与圆心到直线l的距离d之间的等量关系即可求出a．

解答：解：设圆心坐标为（-

a2+1

，0），因为双曲线的渐近线y=±

x

a

，即x±ay=0．
由圆与双曲线的渐近线相切得圆心到直线的距离等于半径，即得r=

|- a2+1 |

1+a2

=1，
又因为圆C被直线l：x-y+2=0截得的弦长等于

2

，
故圆心到直线l：x-y+2=0的距离d=

2

2

=

|- a2+1 +2|

2

∵a＞1，∴a=2

2

故选C．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式等基础知识，考查解决问题的能力和运算能力．