Question

（本题满分16分）已知函数，．

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；

（3）当时，若与的图象有两个交点，求证：．（取为，取为，取为）

Answer 1

（1）（2）．（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）由题意得对，恒成立，即，∵，∴（2）设切点，由导数几何意义得，，令，则，问题就转化为利用导数求最值：由得当时 ，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，∴，故的最小值为．（3）本题较难，难点在于构造函数.先根据等量关系消去参数a：由题意知，，两式相加得，两式相减得，即，

∴，即，为研究等式右边范围构造函数，易得在上单调递增，因此当时，有即，所以，再利用基本不等式进行放缩：，

即，再一次构造函数，易得其在上单调递增，而，因此，即．

试题解析：【解析】
（1）,则，

∵在上单调递增，∴对，都有，

即对，都有，∵，∴，

故实数的取值范围是． 4分

（2）设切点，则切线方程为，

即，亦即，

令，由题意得， 7分

令，则，

当时 ，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

∴，故的最小值为． 10分

（3）由题意知，，

两式相加得，两式相减得，

即，∴，

即， 12分

不妨令，记，令，则，

∴在上单调递增，则，

∴，则，∴，

又，

∴，即，

令，则时，，∴在上单调递增，

又，

∴，则，即．

16分

考点：导数几何意义，导数综合应用

考点分析： 考点1：导数在研究函数中的应用 考点2：函数的单调性与导数 试题属性

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