Question

在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC与不同的两点M，N，若

AB

=m

AM

，

AC

=n

AN

，m＞0，n＞0，则

1

m

+

4

n

的最小值为（　　）

• A．2
• B．4
• C．

  9

  2

• D．9

Answer 1

分析：三点共线时，以任意点为起点这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示且其系数和为1.

m

2

+

n

2

=1的妙用会使问题简单化．

解答：解：∵点O是BC的中点，∴

AO

=

1

2

(

AB

+

AC

)
又

AB

=m

AM

，

AC

=n

AN

，m＞0，n＞0∴

AO

=

m

2

AM

+

n

2

AN

∵M、O、N三点共线，∴

m

2

+

n

2

=1
故

1

m

+

4

n

=(

1

m

+

4

n

)(

m

2

+

n

2

)=

5

2

+

n

2m

+

2m

n

≥

5

2

+2

n 2m • 2m n

=

9

2

当且仅当

n

2m

=

2m

n

，即m=

2

3

，n=

4

3

时取到等号，故

1

m

+

4

n

的最小值为：

9

2

故选C．

点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是根据已知向量的知识寻求基本不等式的条件，属基础题．