题目内容
在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若
=m
，
=n
，则mn的最大值为
| AB |
| AM |
| AC |
| AN |
1
1
．分析：延长AO至A'使AO=A'O，延长A'C交MN 于M'，利用O是BC的中点，得到三角形全等和相似，利用相似比和线段的关系列出等式，再把条件代入求出m+n的值，然后利用基本不等式可求出mn的最大值．
解答：解：延长AO至A'使AO=A'O，延长A'C交MN 于M'，如图：
则△OBM≌△OCM'，∴BM=CM'，
∵△NAM∽△NCM'，
∴
=
，即
=
，
∵
=m
，
=n
，
∴|
=m
，|
=n
，
代入上式得，n-1=1-m，则m+n=2
∴m+n=2≥2
即mn≤1
故mn的最大值为1
故答案为：1
则△OBM≌△OCM'，∴BM=CM'，
∵△NAM∽△NCM'，
∴
| NC |
| AN |
| CM′ |
| AM |
| AN-AC |
| AN |
| AB-AM |
| AM |
∵
| AB |
| AM |
| AC |
| AN |
∴|
| AB| |
| |AM| |
| AC| |
| |AN| |
代入上式得，n-1=1-m，则m+n=2
∴m+n=2≥2
| mn |
故mn的最大值为1
故答案为：1
点评：本题考查了向量在几何中的应用，以及基本不等式的应用，同时考查了数形结合思想，属于中档题．
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如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若
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